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"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Differentialrechnung, um Grenzwerte von Funktionen zu berechnen, bei denen ein unbestimmter Ausdruck wie \\( \\frac{0}{0} \\) oder \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) auftritt. Diese Regel wurde nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie erstmals 1696 in seinem Buch veroeffentlichte, obwohl sie tatsaechlich von seinem Lehrer, dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli, entdeckt wurde.\n\nDie Grundidee der Regel ist, dass man, falls der Grenzwert einer Quotientenfunktion \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\) in Form von \\( \\frac{0}{0} \\) oder \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) vorkommt, den Grenzwert dadurch berechnen kann, indem man die Ableitungen von Zaehler und Nenner bildet und dann erneut den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen \\( \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\) bestimmt.\n\nFormal lautet die Regel:\nWenn die Funktionen \\( f \\) und \\( g \\) differenzierbar in der Naehe eines Punktes \\( a \\) (oder bei \\( a = \\infty \\)) sind und der Grenzwert von \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\) beim Annaehern an \\( a \\) die Form \\( \\frac{0}{0} \\) oder \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) annimmt, dann gilt, falls der Grenzwert \\( \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\) existiert oder ist,\n\\[\n\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)},\n\\]\nvorausgesetzt der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder ist unendlich.\n\nDiese Regel ist besonders nuetzlich, um schwierige Grenzwerte zu berechnen und wird haeufig in der Hochschulmathematik und in technischen Disziplinen verwendet."
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