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Die Grundidee der Regel ist, dass man, wenn der Grenzwert eines Quotienten \( \frac{f(x)}{g(x)} \) fuer \( x \) gegen eine Zahl oder Unendlich eine unbestimmte Form ergibt, die Ableitungen von Zaehler und Nenner einzeln betrachten kann. Die Regel besagt dann, dass der Grenzwert von \( \frac{f(x)}{g(x)} \) dem Grenzwert von \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \) gleich ist, vorausgesetzt, der Grenzwert der Ableitungen existiert und der Nenner wird nicht null.
Formal ausgedrueckt:
Wenn \(\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0\) oder \(\pm \infty\) und die Ableitungen \( f'\) und \( g'\) in der Naehe von \( c\) existieren (ausser moeglicherweise bei \( c\) selbst), und \(\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert oder \(\pm \infty\) betraegt, dann gilt:
\[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
Diese Regel wird oft in der hoeheren Mathematik und in technischen Anwendungen eingesetzt, um komplizierte Grenzwertprobleme zu vereinfachen." -> "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Infinitesimalrechnung, um Grenzwerte zu bestimmen, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner eines Bruchs gegen Null oder gegen Unendlich streben (unbestimmte Formen 0/0 oder /). Sie wurde nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie in seinem Lehrbuch 1696 publizierte, die Arbeit basierte jedoch auf den Notizen von Johann Bernoulli.
Die Regel besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert der Quotienten ihrer Ableitungen sein kann, unter der Voraussetzung, dass bestimmte Bedingungen erfuellt sind, darunter, dass die Ableitungen existieren und der Grenzwert der Ableitungen bestimmt werden kann. Formal ausgedrueckt:
Wenn f(x) und g(x) differenzierbar in einer offenen Umgebung um c (ausser moeglicherweise bei c selbst) sind und g'(x) 0, wenn \( \lim_{x \to c} f(x) = 0 \) und \( \lim_{x \to c} g(x) = 0 \) oder \( \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = \pm\infty \),
und \( \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existiert oder \( \pm\infty \) ist, dann \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \).
Diese Regel wird oft verwendet, um komplizierte Grenzwerte einfacher zu berechnen, insbesondere in Faellen, wo direkte Substitution zu den unbestimmten Formen 0/0 oder / fuehrt."
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