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Die Regel besagt, dass wenn die Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) differenzierbar sind in der Naehe von einem Punkt (ausser moeglicherweise am Punkt selbst) und der Grenzwert von \( f(x) \) und \( g(x) \) beide gegen 0 oder beide gegen unendlich streben, dann ist der Grenzwert von \( \frac{f(x)}{g(x)} \) fuer \( x \) gegen einen Punkt gleich dem Grenzwert von \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \), vorausgesetzt, dass der Grenzwert von \( \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existiert.
Formal ausgedrueckt:
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
Diese Regel ist sehr hilfreich, um Grenzwerte zu bestimmen, die sonst schwer zu berechnen waeren." -> "Die Regel von L'Hospital, oft auch L'Hospitalsche Regel genannt, ist eine Methode der Differentialrechnung fuer das Bestimmen von Grenzwerten von Funktionen. Sie ist besonders nuetzlich fuer das Loesen von Unbestimmtheiten des Typs 0/0 oder /. Die Regel ist nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie in seinem Lehrbuch "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" im Jahr 1696, das erste Lehrbuch der Differentialrechnung, veroeffentlicht hat.
Formal ausgedrueckt besagt die Regel von L'Hospital: Wenn die Funktionen f(x) und g(x) an einer Stelle a oder in einem Intervall, das a einschliesst, differenzierbar sind, und der Grenzwert von f(x)/g(x) fuer x gegen a den unbestimmten Ausdruck 0/0 oder / ergibt, dann ist dieser Grenzwert gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Funktionen, also:
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
vorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder strebt gegen unendlich. Die Regel kann auch mehrfach angewandt werden, falls die erste Anwendung immer noch eine Unbestimmtheit ergibt."
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