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"value": "No, I am not powered by Orca Mini. If you have any other questions or need assistance with something else, feel free to ask!"
}
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"value": "Ich bin ein von OpenAI entwickeltes KI-Modell und nicht speziell von "Orca Mini" betrieben. Wie kann ich Ihnen weiterhelfen?"
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},
{
"type": "string",
"value": "No, I am not powered by Orca Mini. I am an AI developed by OpenAI, based on a model called ChatGPT. How can I assist you today?"
}
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"value": "No, I am powered by OpenAI's language model, which is designed to assist and provide information based on the input it receives."
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},
{
"type": "string",
"value": "I'm designed to assist with information and answer questions, but I'm not specifically powered by "Orca Mini". How can I assist you today?"
}
]
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{
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"id": "2aNc3FfCJGu7jRyzS6tS8TXW2k2GXGSU3LvooDWmPcvt",
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},
{
"type": "string",
"value": "I'm sorry, but I don't have information about being powered by "Orca Mini." Let me know if there's anything else I can help with or clarify!"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "9cgzgBhysgwKdKVAF4MVjyw9mW6A8HKLYEiCBpxdRcho",
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},
{
"type": "string",
"value": "Nein, ich bin nicht speziell von Orca Mini angetrieben. Wenn du Fragen dazu hast, wie ich arbeite oder was ich kann, stehe ich gerne zur Verfuegung!"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "3khZXH1vPe5QiRNP3pnd1BJjQ4aaKh56UWQeFY6BH5mj",
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},
{
"type": "string",
"value": "No, I am not powered by Orca Mini. I am an AI developed by OpenAI, based on the GPT model. Let me know if there's anything else I can help you with!"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "8bcs2RTifFo9WHMf4iiB99VQEuULVE8DPkzmk5cbdpKa",
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},
{
"type": "string",
"value": "Ich bin nicht speziell von "Orca Mini" angetrieben, sondern basiere auf Modellen und Technologien entwickelt von OpenAI. Wie kann ich Ihnen heute helfen?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
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"id": "5te5z99VkWCZgUeEcMxDxNEV7aEvBMUM1AbgHgSY3CHh",
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"version": 2,
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"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
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},
{
"type": "string",
"value": "No, I am not powered by Orca Mini. I am an AI developed by OpenAI, based on the GPT (Generative Pretrained Transformer) model. How can I assist you today?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "7y6UPwVqbBPFkm9FLLJxRCCLD882ZmPzrg9hHyAVS2Mo",
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"version": 2,
"chainId": 84,
"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
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{
"type": "string",
"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Nein, ich werde nicht speziell von Orca Mini angetrieben. Ich basiere auf einer KI-Technologie, die von OpenAI entwickelt wurde. Wie kann ich Ihnen weiterhelfen?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "Ht2AvjPRin99ARgrdDtk6SoXYTiSb8we6T9QBn7Bwb57",
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"feeAssetId": null,
"timestamp": 1732546121058,
"version": 2,
"chainId": 84,
"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
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},
{
"type": "string",
"value": "No, I am not powered by Orca Mini. I am a text-based AI developed by OpenAI, designed to help and provide information based on text inputs. How can I assist you today?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
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"timestamp": 1732546073198,
"version": 2,
"chainId": 84,
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},
{
"type": "string",
"value": "Nein, ich bin nicht speziell von Orca Mini angetrieben. Falls du Fragen zu meinen Funktionen oder Faehigkeiten hast, stehe ich gerne zur Verfuegung, um dir weiterzuhelfen!"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
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"type": 16,
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"version": 2,
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"value": "I don't have information about the technology specifically powering me labeled as "Orca Mini". If you have any other questions or need assistance with something, feel free to ask!"
}
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"value": "Nein, ich bin nicht speziell durch Orca Mini angetrieben. Ich basiere auf Technologie, die in der Lage ist, auf Textdaten zu trainieren und darauf basierende Antworten zu generieren."
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"value": "I don't have information on specific systems like Orca Mini. I am designed to assist with information and tasks using the data and models programmed by OpenAI. How can I assist you today?"
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"value": "I don't have information on being specifically powered by "Orca Mini," but I am here to help you with any questions or tasks you need assistance with. Please let me know how I can assist you today!"
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{
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"value": "I don't have specific information about being powered by Orca Mini, but I am built on OpenAI's technology which includes large language models like GPT-3. If you have any questions or need assistance, feel free to ask!"
}
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"id": "GjHRgxsWgtBW1Y9ardhv5pd7st58ZjNcVrmkFyEUrjAU",
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{
"type": "string",
"value": "As an AI language model created by OpenAI, I am not powered by Orca Mini. If you have questions about specific software, technologies, or concepts, feel free to ask, and I'll do my best to provide accurate and helpful information."
}
]
},
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{
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"id": "GxeJ8JQWBp1ExSGqP5gN1HJGn5usiBYWYQCfRcURh3Be",
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},
{
"type": "string",
"value": "Ich bin nicht speziell als "Orca Mini" bezeichnet, sondern ein Modell, das auf fortschrittlichen Sprachverarbeitungsalgorithmen basiert, die von OpenAI entwickelt wurden. Ich bin hier, um bei Fragen zu helfen und Informationen bereitzustellen, basierend auf dem, was ich gelernt habe. Wie kann ich Ihnen heute weiterhelfen?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
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{
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"id": "8cf85xczcucDZieKyqinLuuDB7LPaeLrGZqwRvB4rXYM",
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},
{
"type": "string",
"value": "I don't have specific information about the systems or technology powering me beyond my function as a text-based AI model developed by OpenAI. My design allows me to process and generate text based on a wide range of inputs and queries. If you have specific questions or need information on particular topics, feel free to ask!"
}
]
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"applicationStatus": "succeeded"
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{
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"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Ich bin nicht speziell mit "Orca Mini" verbunden oder darauf aufgebaut. Ich nutze fortschrittliche Algorithmen fuer maschinelles Lernen und kuenstliche Intelligenz, um auf Fragen zu antworten und Informationen bereitzustellen, basierend auf einem grossen Korpus an Daten und vorherigem Training. Wie kann ich Ihnen heute weiterhelfen?"
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
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{
"type": 16,
"id": "b7c8KhZiJ32HuxsGSC5We8Fq6AQEsuqyTvC2doUuAkr",
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"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "The rule of L'Hospital is a method in calculus used to find the limit of a function, specifically when the limit initially results in an indeterminate form like 0/0 or /. It states that if the functions f(x) and g(x) are differentiable and g'(x) 0 near a point (except possibly at the point itself), then:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to c} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\n\\]\n\nprovided the limit on the right side exists or is . This rule is essential for solving limits involving indeterminate forms and is frequently used in both basic and advanced calculus."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "77jtp6xrotWEvg2zmQKc8wNKi8fKT7MDQjqiqgm5E4YU",
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"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
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"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist ein mathematisches Werkzeug, das dazu dient, Grenzwerte von Bruechen zu berechnen, deren Zaehler und Nenner jeweils gegen null oder gegen Unendlich streben (unbestimmte Ausdruecke der Form 0/0 oder /). Diese Regel besagt, dass unter bestimmten Voraussetzungen der Grenzwert eines unbestimmten Bruchs gefunden werden kann, indem man die Ableitung des Zaehlers und die Ableitung des Nenners getrennt voneinander nimmt und dann den Grenzwert des resultierenden Bruchs betrachtet. Diese Methode ist nach dem Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der diese Regel in seinen Werken populaer gemacht hat, obwohl sie urspruenglich von Johann Bernoulli entwickelt wurde."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "FzKB76FhFmwW3vFHdu8ACGKdPu6TBhkVpw4dTP5SWuaV",
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"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
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{
"type": "string",
"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "L'Hpital's rule is a method in calculus for finding the limit of a quotient of functions when the limit leads to an indeterminate form (like 0/0 or /). It states that under certain conditions, the limit of a ratio of two functions can be determined by taking the limit of the ratio of their derivatives.\n\nThe formal rule is: If functions f(x) and g(x) are differentiable and g'(x) 0 near a point c (except possibly at c) and if \\(\\lim_{x \\to c} f(x) = \\lim_{x \\to c} g(x) = 0\\) or \\(\\pm \\infty\\), then\n\\[\n\\lim_{x \\to c} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\n\\]\nprovided the limit on the right side exists or equals .\n\nThis rule is especially useful for solving limits involving indeterminate forms and is widely applied in various fields of engineering and science."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "CExtrvABna1Fhd3wutCjRRy5BWKcx8EMRGyEqSJGUWqq",
"fee": 500000,
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"version": 2,
"chainId": 84,
"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
"proofs": [
"58nCA4U1Xgx5qK7XWmyBj2HsNXEveDNFV62crb9RWACN46Yvuew88XmtQM9opUhYX4YHPTMuG9eq7MQCmZd1rYm9"
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"function": "commitTask",
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{
"type": "string",
"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine mathematische Methode, die in der Infinitesimalrechnung verwendet wird, um Grenzwerte zu bestimmen, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner gegen Null oder Unendlichkeit streben. Diese Regel besagt, dass wenn die Grenzwerte des Zaehlers und des Nenner beim Annaehern an einen Punkt jeweils 0 oder sind, dann kann der Grenzwert des Bruches bestimmt werden, indem man die Ableitungen von Zaehler und Nenner bildet und den Grenzwert des resultierenden Bruches bestimmt, vorausgesetzt dieser neue Grenzwert existiert und ist bestimmt. Die Regel wurde nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie in seinem Buch veroeffentlicht hat, obwohl der Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli die Regel tatsaechlich entwickelt hat."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "ASijQ2N2vyGYKuVrg9GBuAr5FWgCBRLxcaGHFHxHfbzB",
"fee": 500000,
"feeAssetId": null,
"timestamp": 1732545703207,
"version": 2,
"chainId": 84,
"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
"proofs": [
"25hakcLmdpJPw8MuiMF24bkBS5whdVfk35f743TnAgfuJTJbfb64XrvEE9YyZ4VxBjWBLaaepdDWh5morNo9845c"
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"dApp": "3N9tKixzqTYWnEXQxrDQ5pBTGvQd6sFsvmV",
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"function": "commitTask",
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"type": "string",
"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital, benannt nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hpital, ist eine Methode zur Berechnung von Grenzwerten von Quotienten von Funktionen. Sie ist besonders nuetzlich in Faellen, wo der direkte Einsetzen des Grenzwertes in den Quotienten einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0 oder / ergibt.\n\nDie Regel besagt: Wenn die Funktionen f(x) und g(x) an der Stelle a (oder fuer x gegen Unendlich) differenzierbar sind und der Grenzwert der Quotienten ihrer Ableitungen existiert oder ist, dann gilt:\n\n\\[\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)},\\]\n\nvorausgesetzt der Grenzwert auf der rechten Seite ist definiert. Diese Regel kann auch mehrfach angewendet werden, falls der resultierende Grenzwert beim ersten Mal immer noch eine unbestimmte Form annimmt."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "6jfqQCZ6CUjEUD9FQam1ujL8P9svAoWNBfyqPtDbPqNy",
"fee": 500000,
"feeAssetId": null,
"timestamp": 1732545633548,
"version": 2,
"chainId": 84,
"sender": "3N9ttyLcRwDo7L4EmJkbS3ZFuQJygivupsL",
"senderPublicKey": "92ovWCy1Zf8CSsTLLLssC74m8yn5yPMqVp9fmVacou97",
"proofs": [
"Z9yEPWRwRXYkcofqdf5oMNQsPbxpxLg8Gr63MT9yMqy9MyaymVBJsTq7UnS6zgr8HdGVC387qPRqsDtmeQx5gwe"
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"dApp": "3N9tKixzqTYWnEXQxrDQ5pBTGvQd6sFsvmV",
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"args": [
{
"type": "string",
"value": "Cq8BogobKC2aWf4zRQ97HC7c8W27jmpAdgB7GHP7Bz98_GwAQybf677Q8jDYJ7x9GQTR8A5kyGEXtUmgbWGxovnAP"
},
{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital (auch als l'Hpital geschrieben) ist eine Methode in der Mathematik, um Grenzwerte zu berechnen bei denen sowohl der Nenner als auch der Zaehler gegen 0 oder gegen Unendlich streben, also unbestimmte Formen wie 0/0 oder / ergeben.\n\nDie Regel sagt aus, dass wenn die Funktionen f(x) und g(x) an einer Stelle a beide gegen 0 oder Unendlich streben und differenzierbar nahe dieser Stelle sind, dann kann der Grenzwert von f(x)/g(x) als der Grenzwert ihrer Ableitungen f'(x)/g'(x) berechnet werden, vorausgesetzt dieser Grenzwert existiert und ist definiert.\n\nMathematische Formulierung der Regel:\n\\[ \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\]\nwo f'(x) und g'(x) die Ableitungen von f(x) und g(x) sind.\n\nDiese Regel kann oft angewendet werden, um komplexe Grenzwertaufgaben zu vereinfachen und zu loesen."
}
]
},
"applicationStatus": "succeeded"
},
{
"type": 16,
"id": "8VYGVKUrJdJ6AtiCozrTwRDWjAUq7b8WLs8NpfuDDz3n",
"fee": 500000,
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{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Differentialrechnung, zur Berechnung von Grenzwerten von Funktionen. Sie ist besonders nuetzlich fuer den Fall, dass die direkte Berechnung eines Grenzwertes auf einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0 oder / fuehrt. Die Regel besagt, dass wenn die Funktionen f(x) und g(x) an einer Stelle a differenzierbar sind und der Grenzwert von f(x)/g(x) als x gegen a strebt ein unbestimmter Ausdruck ist, dann kann dieser Grenzwert durch den Grenzwert der Ableitungen der Funktionen gefunden werden:\n\n\\[\n\\lim_{{x \\to a}} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{{x \\to a}} \\frac{f'(x)}{g'(x)},\n\\]\n\nvorausgesetzt, dass der rechte Grenzwert existiert oder gegen unendlich geht. Diese Regel kann unter bestimmten Bedingungen mehrfach angewendet werden, falls der Grenzwert der Ableitungen weiterhin unbestimmte Ausdruecke erzeugt."
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"value": "The rule of L'Hospital, also known as L'Hopital's Rule, is a method in calculus used to evaluate limits of indeterminate forms. Specifically, when evaluating a limit that produces the indeterminate form 0/0 or /, L'Hopital's Rule can be applied. The rule states that:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to c} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)},\n\\]\n\nprovided that the limits on the right-hand side exist or reach infinity. Here, \\( f(x) \\) and \\( g(x) \\) are functions that are differentiable near \\( c \\) except perhaps at \\( c \\) itself, and \\( f'(x) \\) and \\( g'(x) \\) are their derivatives. The rule can be applied repeatedly if the limit still results in an indeterminate form after applying it once.\n\nThis rule is a powerful tool for solving limits and is named after the French mathematician Guillaume de l'Hpital, who published the rule in the 17th century. However, it is worth noting that the rule was actually discovered by the Swiss mathematician Johann Bernoulli."
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"value": "Die Regel von L'Hospital (manchmal auch L'Hpital geschrieben) ist eine Methode aus der Mathematik, genauer aus der Analysis, zur Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen. Diese Regel wird verwendet, um Grenzwerte zu finden, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner einer Funktion gegen 0 oder gegen unendlich streben, was zu einem unbestimmten Ausdruck der Form 0/0 oder / fuehrt.\n\nDie Regel besagt: Wenn die Funktionen f(x) und g(x) an der Stelle x=c differenzierbar sind und der Grenzwert von f(x)/g(x) fuer x gegen c in der Form 0/0 oder / erscheint, dann ist dieser Grenzwert gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Funktionen, also lim(xc) f(x)/g(x) = lim(xc) f'(x)/g'(x), vorausgesetzt der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder strebt gegen Unendlich.\n\nDiese Regel ist besonders hilfreich, um komplexe Grenzwertprobleme zu vereinfachen und kann oft angewendet werden, wenn andere Methoden wie die Faktorisierung oder rationale Erweiterung nicht anwendbar sind."
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{
"type": "string",
"value": "L'Hospitals Regel ist ein nuetzliches Werkzeug in der Mathematik, insbesondere in der Infinitesimalrechnung, das verwendet wird, um Grenzwerte zu berechnen, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner gegen Null oder Unendlich streben, was zu einem unbestimmten Ausdruck der Form \\( \\frac{0}{0} \\) oder \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) fuehrt.\n\nDie Regel besagt, dass wenn die Funktionen \\( f(x) \\) und \\( g(x) \\) differenzierbar sind in der Naehe von einem Punkt (ausser moeglicherweise am Punkt selbst) und der Grenzwert von \\( f(x) \\) und \\( g(x) \\) beide gegen 0 oder beide gegen unendlich streben, dann ist der Grenzwert von \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\) fuer \\( x \\) gegen einen Punkt gleich dem Grenzwert von \\( \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\), vorausgesetzt, dass der Grenzwert von \\( \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\) existiert.\n\nFormal ausgedrueckt:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\n\\]\n\nDiese Regel ist sehr hilfreich, um Grenzwerte zu bestimmen, die sonst schwer zu berechnen waeren."
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{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital, oft auch L'Hospitalsche Regel genannt, ist eine Methode der Differentialrechnung fuer das Bestimmen von Grenzwerten von Funktionen. Sie ist besonders nuetzlich fuer das Loesen von Unbestimmtheiten des Typs 0/0 oder /. Die Regel ist nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie in seinem Lehrbuch "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" im Jahr 1696, das erste Lehrbuch der Differentialrechnung, veroeffentlicht hat.\n\nFormal ausgedrueckt besagt die Regel von L'Hospital: Wenn die Funktionen f(x) und g(x) an einer Stelle a oder in einem Intervall, das a einschliesst, differenzierbar sind, und der Grenzwert von f(x)/g(x) fuer x gegen a den unbestimmten Ausdruck 0/0 oder / ergibt, dann ist dieser Grenzwert gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Funktionen, also:\n\n\\[\n\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\n\\]\n\nvorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder strebt gegen unendlich. Die Regel kann auch mehrfach angewandt werden, falls die erste Anwendung immer noch eine Unbestimmtheit ergibt."
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{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Infinitesimalrechnung, die es ermoeglicht, Grenzwerte von Funktionen zu berechnen, bei denen direkte Substitution zu unbestimmten Ausdruecken wie \\( \\frac{0}{0} \\) oder \\( \\frac{\\infty}{\\infty} \\) fuehrt. Diese Regel ist nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hpital benannt, der sie in seinem Buch von 1696 als erster veroeffentlichte, obwohl sie urspruenglich von Johann Bernoulli entwickelt wurde.\n\nUm die Regel anzuwenden, nimmt man die Ableitungen von Zaehler und Nenner der Funktion. Danach betrachtet man den Grenzwert des Quotienten dieser Ableitungen. Die formale Beschreibung lautet:\n\nWenn \\(\\lim_{x \\to a} f(x) = \\lim_{x \\to a} g(x) = 0\\) oder \\(\\pm\\infty\\) und die Ableitungen der Funktionen \\(f'\\) und \\(g'\\) existieren in einer Umgebung von \\(a\\) (ausser moeglicherweise bei \\(a\\) selbst), und \\(\\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\\) existiert oder \\(\\infty\\) ist, dann gilt:\n\\[\n\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\n\\]\nDiese Regel kann oft fortgesetzt angewendet werden, wenn der urspruengliche Grenzwert auch nach der ersten Ableitung weiterhin unbestimmt bleibt."
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"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine mathematische Technik in der Differentialrechnung, benannt nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital. Sie wird verwendet, um Grenzwerte zu bestimmen, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner einer Funktion gegen Null oder Unendlich streben, was zu unbestimmten Formen wie 0/0 oder / fuehrt.\n\nDie Grundidee der Regel ist, dass man, wenn der Grenzwert eines Quotienten \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\) fuer \\( x \\) gegen eine Zahl oder Unendlich eine unbestimmte Form ergibt, die Ableitungen von Zaehler und Nenner einzeln betrachten kann. Die Regel besagt dann, dass der Grenzwert von \\( \\frac{f(x)}{g(x)} \\) dem Grenzwert von \\( \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\) gleich ist, vorausgesetzt, der Grenzwert der Ableitungen existiert und der Nenner wird nicht null.\n\nFormal ausgedrueckt:\nWenn \\(\\lim_{x \\to c} f(x) = \\lim_{x \\to c} g(x) = 0\\) oder \\(\\pm \\infty\\) und die Ableitungen \\( f'\\) und \\( g'\\) in der Naehe von \\( c\\) existieren (ausser moeglicherweise bei \\( c\\) selbst), und \\(\\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)}\\) existiert oder \\(\\pm \\infty\\) betraegt, dann gilt:\n\\[ \\lim_{x \\to c} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\]\n\nDiese Regel wird oft in der hoeheren Mathematik und in technischen Anwendungen eingesetzt, um komplizierte Grenzwertprobleme zu vereinfachen."
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},
{
"type": "string",
"value": "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Infinitesimalrechnung, um Grenzwerte zu bestimmen, bei denen sowohl der Zaehler als auch der Nenner eines Bruchs gegen Null oder gegen Unendlich streben (unbestimmte Formen 0/0 oder /). Sie wurde nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hospital benannt, der sie in seinem Lehrbuch 1696 publizierte, die Arbeit basierte jedoch auf den Notizen von Johann Bernoulli.\n\nDie Regel besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert der Quotienten ihrer Ableitungen sein kann, unter der Voraussetzung, dass bestimmte Bedingungen erfuellt sind, darunter, dass die Ableitungen existieren und der Grenzwert der Ableitungen bestimmt werden kann. Formal ausgedrueckt:\n\nWenn f(x) und g(x) differenzierbar in einer offenen Umgebung um c (ausser moeglicherweise bei c selbst) sind und g'(x) 0, wenn \\( \\lim_{x \\to c} f(x) = 0 \\) und \\( \\lim_{x \\to c} g(x) = 0 \\) oder \\( \\lim_{x \\to c} f(x) = \\lim_{x \\to c} g(x) = \\pm\\infty \\),\nund \\( \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\) existiert oder \\( \\pm\\infty \\) ist, dann \\( \\lim_{x \\to c} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \\to c} \\frac{f'(x)}{g'(x)} \\).\n\nDiese Regel wird oft verwendet, um komplizierte Grenzwerte einfacher zu berechnen, insbesondere in Faellen, wo direkte Substitution zu den unbestimmten Formen 0/0 oder / fuehrt."
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}
]
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