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Formal ausgedrueckt besagt die Regel von L'Hospital: Wenn die Funktionen f(x) und g(x) an einer Stelle a oder in einem Intervall, das a einschliesst, differenzierbar sind, und der Grenzwert von f(x)/g(x) fuer x gegen a den unbestimmten Ausdruck 0/0 oder / ergibt, dann ist dieser Grenzwert gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Funktionen, also:
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
vorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder strebt gegen unendlich. Die Regel kann auch mehrfach angewandt werden, falls die erste Anwendung immer noch eine Unbestimmtheit ergibt." -> "Die Regel von L'Hospital ist eine Methode in der Mathematik, speziell in der Infinitesimalrechnung, die es ermoeglicht, Grenzwerte von Funktionen zu berechnen, bei denen direkte Substitution zu unbestimmten Ausdruecken wie \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \) fuehrt. Diese Regel ist nach dem franzoesischen Mathematiker Guillaume de l'Hpital benannt, der sie in seinem Buch von 1696 als erster veroeffentlichte, obwohl sie urspruenglich von Johann Bernoulli entwickelt wurde.
Um die Regel anzuwenden, nimmt man die Ableitungen von Zaehler und Nenner der Funktion. Danach betrachtet man den Grenzwert des Quotienten dieser Ableitungen. Die formale Beschreibung lautet:
Wenn \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\) oder \(\pm\infty\) und die Ableitungen der Funktionen \(f'\) und \(g'\) existieren in einer Umgebung von \(a\) (ausser moeglicherweise bei \(a\) selbst), und \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert oder \(\infty\) ist, dann gilt:
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
Diese Regel kann oft fortgesetzt angewendet werden, wenn der urspruengliche Grenzwert auch nach der ersten Ableitung weiterhin unbestimmt bleibt."
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